تمارين متقدمة في تقايس المثلثات

الحل المفصل:

1) إثبات أن AE = AF:

نقارن المثلثين ABE و ACF:

• AB = AC (لأن المثلث ABC متقايس الضلعين في A).
• الزاوية ABE = الزاوية ACF: بما أن ABC متقايس الضلعين، فإن الزاويتين عند القاعدة ABC و ACB متقايستان. وبما أن [Bx) و [Cy) منصفان لهما، فإن نصفيهما (الزاويتين ABE و ACF) متقايسان.
• الزاوية BÂE = الزاوية CÂF: من تقايس المثلثين ABF و ACE (ضلع-زاوية-زاوية)، نستنتج أن BÂF = CÂE.

بتقايس المثلثين ABF و ACE (حالة تقايس ضلع وزاويتان)، نستنتج أن AE = AF.

2) إثبات أن FN = EM:

نقارن المثلثين AFN و AEM:

• AE = AF (أثبتناها في السؤال 1).
• الزاوية FÂN = الزاوية EÂM (من تقايس المثلثين ABF و ACE).
• الزاوية AFN = الزاوية AEM = 90° (لأن F و E مسقطان عموديان).

إذن، المثلثان AFN و AEM متقايسان حسب حالة (زاوية-ضلع-زاوية). ومنه نستنتج أن FN = EM.

الحل المفصل:

1) تقايس المثلثين AED و BFC:

نقارن المثلثين القائمين AED (في A) و BFC (في B):

• AD = BC (ضلعان متقابلان في مستطيل).
• AE = BF (حسب المعطيات).

إذن المثلثان AED و BFC متقايسان (حالة تقايس مثلثين قائمين بضلعين قائمين).

2) المثلث IEF متقايس الضلعين:

من التقايس السابق، نستنتج أن الزاوية AED = الزاوية BFC. بما أن (AB) يوازي (DC)، فإن الزاوية IEF = الزاوية EDC (متبادلتان داخلياً)، والزاوية IFE = الزاوية FCD (متبادلتان داخلياً). ولدينا AED = BFC إذن الزاوية IEF = الزاوية IFE. ومنه المثلث IEF متقايس الضلعين في I، أي IE = IF.

3) أ- إثبات JM = JN:

في المثلث IDC، لدينا ID = IC (لأن IE=IF و ED=FC)، إذن هو متقايس الضلعين في I. نقارن المثلثين القائمين JDM و JCN:

• JD = JC (لأن J منتصف [DC]).
• الزاوية JDM = الزاوية JCN (زاويتا القاعدة في المثلث المتقايس الضلعين IDC).

إذن المثلثان JDM و JCN متقايسان. ومنه نستنتج أن JM = JN.

ب- (IJ) هو الموسط العمودي لـ [MN]:

لدينا IM = IN (لأن ID=IC و MD=NC من التقايس السابق). ولدينا JM = JN (من السؤال 3-أ). بما أن النقطتين I و J متساويتا البعد عن طرفي القطعة [MN]، فإن المستقيم (IJ) هو الموسط العمودي للقطعة [MN].

الحل المفصل:

1) تقايس المثلثين BEM و CFN:

نقارن المثلثين القائمين BEM (في M) و CFN (في N):

• BE = CF (حسب المعطيات).
• الزاوية EBM = الزاوية FCN: بما أن ABC متقايس الضلعين في A، فإن الزاوية ABC = الزاوية ACB. الزاويتان EBM و FCN هما الزاويتان الخارجتان عنهما، وهما متقايستان.

إذن المثلثان BEM و CFN متقايسان (حالة تقايس وتر وزاوية حادة في مثلث قائم).

2) إثبات أن IN = IM:

من التقايس السابق، نستنتج أن EM = FN. وفي المثلثين IEM و IFN:

• الزاوية EIM = الزاوية FIN (متقابلتان بالرأس).
• الزاوية IEM = الزاوية IFN (لأن BEM=CFN و BEM+IEM=180, CFN+IFN=180). هذا غير صحيح.
• الطريقة الصحيحة: نقارن المثلثين القائمين IEM و IFN. الزاوية EIM = الزاوية FIN. وبما أن EM=FN. فإن المثلثين متقايسان. ومنه IM = IN.

3) (AI) هو الموسط العمودي لـ [MN]:

لدينا AM = AN (لأن AB=AC و BM=CN من التقايس الأول). ولدينا IM = IN (من السؤال 2). بما أن النقطتين A و I متساويتا البعد عن طرفي القطعة [MN]، فإن المستقيم (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [MN].

الحل المفصل:

1) تقايس المثلثين OAM و ODN:

نقارن المثلثين OAM و ODN:

• OA = OD (لأن قطري المربع متقايسان وينصف كل منهما الآخر).
• AM = DN (حسب المعطيات).
• الزاوية OAM = الزاوية ODN = 45° (لأن قطري المربع هما منصفا زواياه).

إذن المثلثان OAM و ODN متقايسان حسب حالة (ضلع-زاوية-ضلع).

2) المثلث OMN متقايس الضلعين وقائم الزاوية:

• من التقايس السابق، نستنتج أن OM = ON، إذن المثلث OMN متقايس الضلعين في O.
• أيضاً من التقايس، الزاوية AOM = الزاوية DON.
• نعلم أن الزاوية AOD = 90° (قطرا المربع متعامدان).
• الزاوية AOD = الزاوية AOM + الزاوية MOD.
• نعوض AOM بـ DON، فتصبح المعادلة: الزاوية DON + الزاوية MOD = 90°.
• الزاوية MON = الزاوية DON + الزاوية MOD. إذن الزاوية MON = 90°.

بما أن المثلث OMN متقايس الضلعين وفيه زاوية قائمة، فهو مثلث قائم ومتقايس الضلعين في O.